Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 底面，底面為正方形， ， 分別是的中點.

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意可證得， ，則平面，由線面垂直的性質(zhì)有，由三角形中位線的性質(zhì)可得，則

(Ⅱ)（方法一）為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計算可得

平面的一個法向量，則直線與平面所成角的正弦值為.

（方法二）由等體積法可得點到平面的距離，據(jù)此可得與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

（Ⅰ）因為底面， 平面，所以

又因為正方形中， ，

所以平面

又因為平面，所以

因為分別是、的中點，所以

所以

（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）可知， ， ， 兩兩垂直，以為軸，以為軸，以為軸，設(shè)，

， ， ， ，

， ，

設(shè)平面的一個法向量，

，解得

設(shè)直線與平面所成角為，則

（方法二）設(shè)點到平面的距離為

等體積法求出

設(shè)直線與平面所成角為，