Question

【題目】已知為橢圓的一個焦點，過原點的直線與橢圓交于兩點，且， 的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）若，過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結合橢圓的對稱性可知四邊形為矩形，由題意得到關于a,b,c的方程組，消元整理可得，則橢圓的離心率

(Ⅱ)由題意結合(Ⅰ)的結論可得橢圓的方程為聯立直線方程與橢圓方程可得，結合韋達定理和中點坐標公式可得點橫坐標為： ，結合知點橫坐標的取值范圍為：

試題解析：

（Ⅰ）設橢圓的焦半距為，左焦點為，∵，∴

由橢圓的對稱性可知四邊形為矩形，

∴

得，由消去上式的得，

即，橢圓的離心率

（Ⅱ）∵的坐標為，由（1）中，∴，

，橢圓的方程為

設直線的斜率為，直線不與坐標軸垂直，故

直線的方程為

將方程與橢圓方程聯立得： ，消得：

由韋達定理得： ，設線段中點坐標為，則

，

則垂直平分線的方程為.

令， 點橫坐標為：

因為，所以，

故點橫坐標的取值范圍為：