已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
)，cos
x
2
)，
b
=(cos(
x
2
+
π
12
)，-cos
x
2
)，x∈[
π
2
，π]，函數(shù)f（x）=
a
•
b
．
（1）若cosx=-
3
5
，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量
c
=（m，n）（0＜m＜π）平移，使得平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，求向量
c
．
分析：求出函數(shù)f（x）=
a
•
b
．的最簡形式：
（1）根據(jù)x的范圍，利用cosx=-
3
5
，求出sinx=
4
5
，得到函數(shù)f（x）的值．
（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為g(x)=
1
2
sin(x-
π
6
-m)+n-
1
2
，而平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，g（0）=0求出n，
推出m，求向量
c
．
解答：解：由題意，得f(x)=sin(
x
2
+
π
12
)cos(
x
2
+
π
12
)-cos2
x
2
=
1
2
sin(x+
π
6
)-
1
2
(1+cosx)
=
3
4
sinx-
1
4
cosx-
1
2
=
1
2
(
3
2
sinx-
1
2
cosx)-
1
2

=
1
2
sin(x-
π
6
)-
1
2
.（5分）
（1）∵x∈[
π
2
，π]，cosx=-
3
5
，∴sinx=
4
5
，
∴f(x)=
3
4
sinx-
1
4
cosx-
1
2
=
3
5
-
7
20
.（7分）
（2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為g(x)=
1
2
sin(x-
π
6
-m)+n-
1
2
，
而平移后的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴g(0)=0且n-
1
2
=0，（9分）
即sin(m+
π
6
)=0且n=
1
2
，∵0＜m＜π，∴m=
5
6
π，
即
c
=(
5
6
π，
1
2
)．
點(diǎn)評：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，向量間的變換，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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