Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到P點，且P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上．
（1）求證：PB⊥AD；
（2）求證：平面PAD⊥平面PBD；
（3）求直線AB與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）∵DA?平面ABD，P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上，
∴AB是BP在平面ABD內(nèi)的射影，…（2分）
∵DA⊥AB，
∴由三垂直線定理，知PB⊥AD．…（4分）
（2）由（1）知，PB⊥AD，
∵在矩形ABCD中，沿對角線BD將△BCD折起，使點C移到P點，
∴BP⊥DP，…（6分）
∵AD∩DP=D，∴BP⊥平面PAD，
∵BP?PBD，∴平面PAD⊥平面PBD．…（8分）
（3）作AM⊥DP于M，連接BM，
∵BP⊥面ADC’，
∴面ADP⊥面BDC’，
∵AM⊥DP，
∴AM⊥面BPD，
∴∠ABM是AB與平面BPD所成的角，…（10分）
在Rt△DAP中，AM•DP=AD•AP，
∴AM===，…（11分）
在Rt△ABM中sin∠ABM=，
所以，AB與平面BPD所成的角正弦值為．…（12分）
分析：（1）由DA?平面ABD，P在平面ABD上的射影O恰好落在AB上，知AB是BP在平面ABD內(nèi)的射影，由三垂直線定理，能夠證明PB⊥AD．
（2）由（1）知，PB⊥AD，由題設知BP⊥DP，所以BP⊥平面PAD，由此能夠證明平面PAD⊥平面PBD．
（3）作AM⊥DP于M，連接BM，由題設條件推導出∠ABM是AB與平面BPD所成的角，由此能求出AB與平面BPD所成的角正弦值．
點評：本題考查直線與平面垂直，求二面角的大小，求直線與平面所成角的大小，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．