Question

在如圖所示的多面體PMBCA中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PM∥BC，且BC=2PM=4，AB=2

5

．
（Ⅰ）求證：PA⊥BC；
（Ⅱ）求多面體PMBCA的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）先證明AC⊥BC，再利用平面PAC⊥平面ABC，證明BC⊥平面PAC，即可證明PA⊥BC；
（Ⅱ）作AD⊥PC于點(diǎn)D，證明AD⊥平面BCPM，求出四邊形BCPM的面積，即可求多面體PMBCA的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵AC=2，BC=4，AB=2

5

，∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面PAC，
∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA．…..（6分）
（Ⅱ）解：作AD⊥PC于點(diǎn)D．由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD，BC⊥PC
又PM∥BC，且BC=2PM=4，∴四邊形BCPM是上、下底分別為2、4，高為2的直角梯形，其面積為6．
又BC∩PC=C，∴AD⊥平面BCPM，AD=

3

．
故多面體PMBCA的體積為

1

3

×SBCPM×AD=

1

3

×6×

3

=2

3

．…..（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的性質(zhì)，線面平行的判定，考查多面體PMBCA的體積，正確運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)是關(guān)鍵．