Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）試判斷數(shù)列{

1

an

+（-1）ⁿ}是否為等比數(shù)列，并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：對任意的n∈N^*，T_n＜

2

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由an=

an-1

(-1)nan-1-2

得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
所以

1

an

+(-1)n=2(-1)n-

2

an-1

=-2[

1

an-1

+(-1)n-1](n≥2)，
所以數(shù)列{

1

an

+(-1)n}是首項為

1

a1

+(-1)=3，
公比為-2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）知

1

an

+(-1)n=3×(-2)n-1，
得an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

=

(-1)n-1

3×2n-1+1

，
不管n為奇數(shù)還是偶數(shù)，都有Cn=

1

3×2n-1+1

＜

1

3×2n-1

，
所以T_n=C₁+C₂+…+C_n＜

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)=

2

3

[1-(

1

2

)n]＜

2

3

，
即不等式成立．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用及數(shù)列求和，根據(jù)數(shù)列的求和公式是解決本題的關(guān)鍵．