Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知CA=CB=1，AA₁=2，∠BCA=90°．
（1）求異面直線BA₁與CB₁夾角的余弦值；
（2）求二面角B-AB₁-C平面角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出異面直線BA₁與CB₁的方向向量，代入向量夾角公式，可得異面直線BA₁與CB₁夾角的余弦值；
（2）求出平面AB₁C的法向量和平面BAB₁的一個法向量，代入向量夾角公式，可得二面角B-AB₁-C平面角的余弦值．

解答： 解：（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
∵CA=CB=1，AA₁=2，
∴A（1，0，0），B（0，1，0），A₁（1，0.2），B₁（0，1，2），
∴

CB1

=（0，1，2），

BA1

=（1，-1，2），
設(shè)異面直線BA₁與CB₁夾角為θ，
則cosθ=

| CB1 • BA1 |

| CB1 |•| BA1 |

=

3

6 × 5

=

30

10

…（4分）
（2）由（1）得：

AB

=（-1，1，0），

AB1

=（-1，1，2），
設(shè)平面AB₁C的法向量為

m

=（x，y，z），
則

m • AB1 =0 m • CB1 =0

，即

-x+y+2z=0 y+2z=0

，
取y=2，則平面AB₁C的一個法向量為

m

=（0，2，-1）；
設(shè)平面BAB₁的法向量為

n

=（r，s，t），
則

n • AB1 =0 n • AB  =0

，即

-r+s+2t=0 -r+s=0

，
取r=1，則平面BAB₁的一個法向量為

n

=（1，1，0）；
設(shè)二面角B-AB₁-C平面角的平面角為α，
則cosα=

| m • n |

| m |•| n  |

=

2

5 × 2

=

10

5

所以二面角B-AB₁-C平面角的余弦值為

10

5

．    …（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與直線的夾角，二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將空間夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．