Question

若f（x）=2sin²ωx+sin（2ωx-

π

6

）（ω＞0）對任意實數(shù)x都有f（x+

π

2

）=f（x-

π

2

），則f（

7π

24

）=

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：通過兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式，由f（x+π）=f（x），求出函數(shù)的周期，然后求函數(shù)f（x）的解析式，即可求值．

解答： 解：f（x）=sin（2ωx-

π

6

）+1-cos2ωx
=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx+1-cos2ωx
=

3

sin（2ωx-

π

3

）+1…（3分）
∵f（x+π）=f[（x+

π

2

）+

π

2

]=f（（x+

π

2

）-

π

2

）=f（x），
∴T=π，∴

2π

2ω

=π，ω=1，
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=

3

sin（2x-

π

3

）+1…（6分）
∴則f（

7π

24

）=

3

sin（2×

7π

24

-

π

3

）+1=

6

2

+1．
故答案為：

6

2

+1．…（9分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，函數(shù)的解析式的求法，考查計算能力，屬于中檔題．