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已知梯形中,,,

,、分別是、上的點,,

沿將梯形翻折,使平面⊥平面(如圖).

中點,以、、為頂點的三棱錐的體積記為

(1)當時,求證: ;

(2)求的最大值;

(3)當取得最大值時,求異面直線所成的角的余弦值.


(法一)(1)證明:作,垂足,連結,

∵平面平面,交線,平面

平面,又平面,故

,,

∴四邊形為正方形,故

、平面,且,故平面

平面,故.  

(2)解:∵,平面平面,交線,平面

.又由(1)平面,故,

∴四邊形是矩形,,故以、、、為頂點的三棱

的高

∴三棱錐的體積

.    

∴當時,有最大值為

(3)解:由(2)知當取得最大值時,故

由(2)知,故是異面直線所成的角.

,

平面平面,故

,

∴異面直線所成的角的余弦值為

法二:(1)證明:∵平面平面,交線,平面,,故⊥平面,又、平面

,,又,取、分別為軸、

軸、軸,建立空間坐標系,如圖所示.

時,,,又,

,,

,

,即;  

(2)解:同法一;

(3)解:異面直線所成的角等于或其補角.

, 故

,故異面直線所成的角的余弦值為


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