已知梯形中,∥,,
,、分別是、上的點,∥,.
沿將梯形翻折,使平面⊥平面(如圖).是的
中點,以、、、為頂點的三棱錐的體積記為.
(1)當時,求證:⊥ ;
(2)求的最大值;
(3)當取得最大值時,求異面直線與所成的角的余弦值.
(法一)(1)證明:作,垂足,連結,,
∵平面平面,交線,平面,
∴平面,又平面,故,
∵,,.
∴四邊形為正方形,故.
又、平面,且,故平面.
又平面,故.
(2)解:∵,平面平面,交線,平面.
∴面.又由(1)平面,故,
∴四邊形是矩形,,故以、、、為頂點的三棱
錐 的高,
又.
∴三棱錐的體積
.
∴當時,有最大值為.
(3)解:由(2)知當取得最大值時,故,
由(2)知,故是異面直線與所成的角.
在中,
由平面,平面,故
在中
,
∴.
∴異面直線與所成的角的余弦值為.
法二:(1)證明:∵平面平面,交線,平面,,故⊥平面,又、平面,
∴⊥,⊥,又⊥,取、、分別為軸、
軸、軸,建立空間坐標系,如圖所示.
當時,,,又,.
∴,,,,.
∴,,
∴.
∴,即;
(2)解:同法一;
(3)解:異面直線與所成的角等于或其補角.
又, 故
∴,故異面直線與所成的角的余弦值為.
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