Question

如圖，在△ABC中，已知B=45°，D是BC邊上的一點，AD=10，AC=14，DC=6．
（1）求AB的長；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用余弦定理表示出cos∠ADC，將三邊長代入求出cos∠ADC的值，確定出∠ADC與∠ADB的度數(shù)，在三角形ABD中，利用正弦定理求出AB的長即可；
（2）過A作AE⊥BC，交BC于點E，根據(jù)三角形ABE為等腰三角形求出BE與AE的長，根據(jù)三角形AED為含30度的直角三角形求出ED的長，由BE+ED+DC求出BC的長，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．

解答： 解：（1）在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，
由余弦定理得cos∠ADC=

AD2+DC2-AC2

2AD•DC

=

100+36-196

2×10×6

=-

1

2

，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=10，B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理得

AB

sin∠ADB

=

AD

sinB

，
則AB=

ADsin∠ADB

sinB

=

10× 3 2

2 2

=5

6

；
（2）過A作AE⊥BC，交BC于點E，
∵∠B=45°，∠EAD=30°，
∴△ABE為等腰直角三角形，ED=

1

2

AD=5，
∴AE=BE=

2

2

AB=5

3

，
∴BC=BE+ED+DC=5

3

+5+6=5

3

+11，
則S=

1

2

BC•AE=

75+55 3

2

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．