Question

設(shè)拋物線y²=4x上一點P到該拋物線準(zhǔn)線與直線l：4x-3y+6=0的距離之和為d，若d取到最小值，則點P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)拋物線的定義可得 d=PM+PF，d的最小值就是焦點F到直線l的距離．此時，F(xiàn)M的斜率等于-

3

4

，
用點斜式設(shè)出FM的方程，代入拋物線y²=4x 求得點P的坐標(biāo)．

解答：解：拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為 x=-1．設(shè)PM是點P到直線l的距離，根據(jù)拋物線的定義可得
點P到該拋物線準(zhǔn)線距離和點P到焦點F的距離相等，故d=PM+PF，故當(dāng)P、F、M三點共線時，d取到最小值．
此時，F(xiàn)M的斜率等于-

3

4

，故FM的方程為 y-0=-

3

4

 （x-1），代入拋物線y²=4x 求得點P的坐標(biāo)為(

1

9

，

2

3

)，
故答案為：(

1

9

，

2

3

)．

點評：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用．判斷當(dāng)P、F、M三點共線時，d取到最小值，是解題的關(guān)鍵．