【題目】已知F1,F2為橢圓C:的左、右焦點,橢圓C過點M
,且MF2⊥F1F2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)經(jīng)過點P(2,0)的直線交橢圓C于A,B兩點,若存在點Q(m,0),使得|QA|=|QB|.
①求實數(shù)m的取值范圍:
②若線段F1A的垂直平分線過點Q,求實數(shù)m的值.
【答案】(1)y2=1(2)①m∈[0,
)②
【解析】
(1)由橢圓過M點,及且MF2⊥F1F2,可得c=1,求得a,b的值,求出橢圓的方程;
(2)①設(shè)直線AB的方程與橢圓聯(lián)立,求出兩根之和,可得AB的中點N的坐標(biāo),由|QA|=|QB|.可得直線AB⊥QN,可得斜率之積為﹣1,可得m的表達(dá)式m,進(jìn)而可得m的范圍;
②由題意|QF1|=|QA|=QB|,在以
為原心,
為半徑的圓上,再與橢圓方程聯(lián)立,由根與系數(shù)的關(guān)系列式化簡,求出m的值.
解:(1)因為橢圓過M(1,),MF2⊥F1F2,
所以解得:a2=2,b2=1,所以橢圓的方程為:
y2=1;
(2)設(shè)直線的方程為:y=k(x﹣2),
代入橢圓的方程,整理可得:(1+2k2)x2﹣8k2x+8k2﹣2=0,
因為直線l與橢圓C由兩個交點,所以=64k4﹣4(1+2k2)(8k2﹣2)>0,
解得2k2<1;
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2,x1x2
,
①設(shè)AB中點為M(x0,y0),
則有x0,y0=k(x0﹣2)
,
當(dāng)k≠0時,因為|QA|=|QB|,∴QM⊥l,
∴kQMkk=﹣1,解得m
,
∴m1
∈(0,
),
當(dāng)k=0,可得m=0,
綜上所述:m∈[0,).
②由題意|QF1|=|QA|=QB|,且F1(﹣1,0),
由,整理可得:x2﹣4mx﹣4m=0,
所以x1,x2也是此方程的兩個根,所以x1+x2=4m,x1x2=﹣4m
,
所以,解得k2
,所以m
.
所以m的值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,海岸公路MN的北方有一個小島A(大小忽略不計)盛產(chǎn)海產(chǎn)品,在公路MN的B處有一個海產(chǎn)品集散中心,點C在B的正西方向10處,
,
,計劃開辟一條運(yùn)輸線將小島的海產(chǎn)品運(yùn)送到集散中心.現(xiàn)有兩種方案:①沿線段AB開辟海上航線:②在海岸公路MN上選一點P建一個碼頭,先從海上運(yùn)到碼頭,再公路MN運(yùn)送到集散中心.已知海上運(yùn)輸、岸上運(yùn)輸費(fèi)用分別為400元/
、200元/
.
(1)求方案①的運(yùn)輸費(fèi)用;
(2)請確定P點的位置,使得按方案②運(yùn)送時運(yùn)輸費(fèi)用最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求證:當(dāng)時,
的圖象位于直線
上方;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),若曲線
在點
處的切線與
軸平行,且在點
處的切線與直線
平行(
為坐標(biāo)原點),求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)在(﹣∞,0]上單調(diào)遞增,且f(﹣1)=﹣1.若f(x﹣1)+1≥0,則x的取值范圍是_____;設(shè)函數(shù)若方程f(g(x))+1=0有且只有兩個不同的實數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左右焦點分別為
,
的周長為12.
(1)求點的軌跡
的方程.
(2)已知點,是否存在過點
的直線
與曲線
交于不同的兩點
,使得
,若存在,求出直線
的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).則下面結(jié)論正確的是( )
A.是奇函數(shù)B.
在
上為增函數(shù)
C.若,則
D.若
,則
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2.
(1)M為曲線C1上的動點,點P在線段OM上,且滿足,求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)曲線C2上兩點與點B(ρ2,α),求△OAB面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
在四棱錐中,側(cè)面
底面
,
,
為
中點,底面
是直角梯形,
,
=90°,
,
.
(I)求證:平面
;
(II)求證:平面
;
(III)設(shè)為側(cè)棱
上一點,
,試確定
的值,使得二面角
為45°.
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