Question

【題目】已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
（3）證明：（1﹣ ）（ ）（ ﹣ ）…（ ﹣ ）＜e3（3﹣n） ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣ = ，

所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)1＜x≤e時(shí)，f'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f（x）的極小值為f（1）=1

（2）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，有最小值3，

則f′（x）=a﹣ = ，

① 當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，

f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值不是3．

②當(dāng)0＜ ＜e時(shí)，f（x）在（0， ]上單調(diào)遞減，f（x）在（ ，e]上單調(diào)遞增．

所以f（x）min=f（ ）=1+lna=3，a=e2，滿足條件．

③當(dāng) ≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，a= ，（舍去），

此時(shí)函數(shù)f（x）的最小值是不是3，

綜上可知存在實(shí)數(shù)a=e2，使f（x）的最小值是3

（3）證明：由（2）知：當(dāng)x∈（0，e]，e2x﹣lnx≥3，∴l(xiāng)nx≤e2x﹣3，

∴ n個(gè)式子相加得： ；

∴

【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)的定義域，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，讓最小值等于3，解參數(shù)a；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到lnx≤e2x﹣3，令x= ﹣ ，累加即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．