定義在R上的函數(shù)f(x)=
1
3
ax3+bx2+cx+2
同時(shí)滿(mǎn)足以下條件:
①f(x)在(0,1)上是減函數(shù),在(1,+∞)上是增函數(shù);
②f′(x)是偶函數(shù);
③f(x)在x=0處的切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x+2垂直.
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=[
1
3
x3-f(x)]•ex,求函數(shù)g(x)在[m,m+1]上的最小值.
(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得f′(x)=ax2+2bx+c…(1分)
由題意知
f′(1)=0
f′(0)=-1
2b=0
,即
a+2b+c=0
c=-1
b=0
解得
a=1
b=0
c=-1
.…(4分)
所以函數(shù)y=f(x)的解析式為f(x)=
1
3
x
3
-x+2
.…(5分)
(Ⅱ)g(x)=(
1
3
x3-f(x))ex
=(x-2)ex,∴g′(x)=(x-1)ex
令g′(x)=0得x=1,所以函數(shù)g(x)在(-∞,1)遞減,在(1,+∞)遞增..…(7分)
當(dāng)m≥1時(shí),g(x)在[m,m+1]單調(diào)遞增,ymin=g(m)=(m-2)em…(9分)
當(dāng)m<1<m+1,即0<m<1時(shí),g(x)在[m,1]單調(diào)遞減,在[1,m+1]單調(diào)遞增,ymin=g(1)=-e..…(10分)
當(dāng)m+1≤1,即m≤0時(shí),g(x)在[m,m+1]單調(diào)遞減,ymin=g(m+1)=(m-1)em+1.….(12分)
綜上,g(x)在[m,m+1]上的最小值ymin=
(m-2)em,m≥1
-e,0<m<1
(m-1)em+1,m≤0
.…(13分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=lnx-x
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式af(x)≥x-
1
2
x2在x∈(0,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)n∈N+,求證:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
ln(n+1)
n
n+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1,試求a,b的值,
(1)并求出f(x)的單調(diào)區(qū)間
(2)在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值
(3)若關(guān)于x的方程f(x)=α有3個(gè)不同實(shí)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a•lnx.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上恒為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)t≥1時(shí),不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=a(lnx-x)(a∈R).
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(II)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線(xiàn)的傾斜角為45°,函數(shù)g(x)=x3+x2[
m
2
+f′(x)]
在區(qū)間(2,3)上總存在極值,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=x2+lnx.
(1)求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;
(2)求證:當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),函數(shù)f(x)的圖象在g(x)=
2
3
x3+
1
2
x2的下方.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

由直線(xiàn)x=-,x=,y=0與曲線(xiàn)y=cosx所圍成的封閉圖形的面積為(   )
A.B.1C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

計(jì)算定積分:=_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

定積分等于(   )
A.B.C.D.

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