Question

【題目】斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，已知側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B1BC=60°，BC=BB1=2，若二面角A﹣B1B﹣C為30°

（1）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值；

（2）在平面AA1B1B內(nèi)找一點(diǎn)P，使三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐，并求P到平面BB1C距離.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，則有∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角，連接B1C，則∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠AB1C.

（2）在AD上取點(diǎn)P，使AP=2PD，則P點(diǎn)為所求，在CD上取點(diǎn)O，使CO=2OD，連PO，則易知三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐，故可求.

（1）由側(cè)面BB1C1C與底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，

取BB1的中點(diǎn)D，AC⊥平面BB1C1C，

∴AC⊥BB1，

∴BB1⊥平面ADC，

∴AD⊥BB1，

∴∠CDA為二面角A﹣BB1﹣C的平面角，∴∠CDA=30°，

∵CD=，∴AC=1，

連接B1C，則∠AB1C為AB1與平面BB1C1C所成的角，

在Rt△ACB1中tan∠AB1C=，

（2）在AD上取點(diǎn)P，使AP=2PD，則P點(diǎn)為所求，

在CD上取點(diǎn)O，使CO=2OD，連PO，

則PO∥AC，且PO=，

∵AO⊥平面BB1C，

∴PO⊥平面BB1C 且 BB1C為等邊三角形，

∴三棱錐P﹣BB1C為正三棱錐，

且P到平面BB1C的距離為PO，PO=.