Question

【題目】在底面為正方形的四棱錐中，平面平面分別為棱和的中點(diǎn).

(1)求證:平面;

(2)若直線與所成角的正切值為，求平面與平面所成銳二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）要證明線面平行，需先證明面面平行，取的中點(diǎn)，連接，證明平面平面；

（2）分別取和的中點(diǎn)，連，由條件可證明三條線兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，利用公式求值.

(1)證明:取的中點(diǎn)，連接，

因?yàn)?/span>分別為和的中點(diǎn)，四邊形為正方形，

所以，

因?yàn)?/span>平面平面，

所以平面平面，

因?yàn)?/span>平面，

所以平面.

(2)因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面

平面

所以平面，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以就是直線與所成的角，

所以，

設(shè)，

分別取和的中點(diǎn)，連，

因?yàn)?/span>，

所以，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面平面，

所以平面

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，

所以，

設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則

取，則，所以

是平面的一個(gè)法向量，

所以，

所以所求二面角的大小為