Question

如圖，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC=

1

2

CP=2，D是CP中點(diǎn)，將△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PC的中點(diǎn)．求三棱錐A-PEB的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明AD⊥底面PCD，利用面面垂直的判定，可得平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）證明點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn)D到平面PBC的距離，利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐A-PEB的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．…（1分）
又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC
∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，…（3分）
又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，…（5分）
∵AD?平面PAD，∴PAD⊥底面PCD                    …（6分）
（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC?平面PBC，AD?平面PBC，∴AD∥平面PBC
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離即為點(diǎn)D到平面PBC的距離              …（7分）
又∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)
∴PC⊥DE
由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．
由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．
又∵PC∩BC=C
∴DE⊥面PBC．…（9分）
∴DE=

2

，PC=2

2

，
又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，
∵AD∥BC，∴AD⊥BC
∴S△PEB=

1

2

S△PBC=

1

2

×(

1

2

×BC×PC)=

2

∴VA-PEB=VD-PEB=

1

3

×DE×S△PEB=

2

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定定理，正確轉(zhuǎn)換底面，屬于中檔題．