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【題目】金剛石是碳原子的一種結構晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構成晶體的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的個頂點，個面的中心，此外在立方體的對角線的處也有個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍都有個按照正四面體分布的碳原子．設金剛石晶胞的棱長為，則正四面體的棱長為__________；正四面體的外接球的體積是__________．

【答案】

【解析】

依題意可知，為正四面體的中心，，設利用勾股定理即可解得，從而可得正四面體的外接球的半徑，進而可求出體積.

依題意可知，為正四面體的中心，如圖：

連接，延長交平面于點，則為△的中心，

所以設，，

因為，所以，

由，得，

得，解得，

所以正四面體的棱長為.

依題意可知，正四面體的外接球的圓心為，半徑為，

所以正四面體的外接球的體積是.

故答案為：；.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】一場突如其來的新冠肺炎疫情在全國蔓延，在黨中央的堅強領導和統(tǒng)一指揮下，全國人民眾志成城、團結一心，共抗疫情。每天測量體溫也就成為了所有人的一項責任，一般認為成年人腋下溫度（單位：℃）平均在36℃~37℃之間即為正常體溫，超過37.1℃即為發(fā)熱。發(fā)熱狀態(tài)下，不同體溫可分成以下三種發(fā)熱類型：低熱：；高熱：；超高熱（有生命危險）：.

某位患者因發(fā)熱，雖排除肺炎，但也于12日至26日住院治療. 醫(yī)生根據病情變化，從14日開始，以3天為一個療程，分別用三種不同的抗生素為該患者進行消炎退熱. 住院期間，患者每天上午8:00服藥，護士每天下午16:00為患者測量腋下體溫記錄如下：

抗生素使用情況

沒有使用

使用“抗生素A”治療

使用“抗生素B”治療

日期

12日

13日

14日

15日

16日

17日

18日

19日

體溫（℃）

38.7

39.4

39.7

40.1

39.9

39.2

38.9

39.0

抗生素使用情況

使用“抗生素C”治療

沒有使用

日期

20日

21日

22日

23日

24日

25日

26日

體溫（℃）

38.4

38.0

37.6

37.1

36.8

36.6

36.3

（1）請你計算住院期間該患者體溫不低于39℃的各天體溫平均值；

（2）在18日—22日期間，醫(yī)生會隨機選取3天在測量體溫的同時為該患者進行某一特殊項目“項目”的檢查，求至少兩天在高熱體溫下做“項目”檢查的概率；

（3）抗生素治療一般在服藥后2-8個小時就能出現血液濃度的高峰，開始殺滅細菌，達到消炎退熱效果.假設三種抗生素治療效果相互獨立，請依據表中數據，判斷哪種抗生素治療效果最佳，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知正四面體P－ABC的棱長均為a，O為正四面體P－ABC的外接球的球心，過點O作平行于底面ABC的平面截正四面體P－ABC，得到三棱錐P－A1B1C1和三棱臺ABC－A1B1C1，那么三棱錐P－A1B1C1的外接球的表面積為________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某大型科學競技真人秀節(jié)目挑選選手的方式為：不但要對選手的空間感知、照相式記憶能力進行考核，而且要讓選手經過名校最權威的腦力測試，120分以上才有機會入圍．某重點高校準備調查腦力測試成績是否與性別有關，在該高校隨機抽取男、女學生各100名，然后對這200名學生進行腦力測試．規(guī)定：分數不小于120分為“入圍學生”，分數小于120分為“未入圍學生”．已知男生入圍24人，女生未入圍80人．

（1）根據題意，填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據列聯(lián)表判斷是否有95%以上的把握認為腦力測試后是否為“入圍學生”與性別有關；

性別

入圍人數

未入圍人數

總計

男生

女生

總計

（2）用分層抽樣的方法從“入圍學生”中隨機抽取11名學生，求這11名學生中男、女生人數；若抽取的女生的腦力測試分數各不相同（每個人的分數都是整數），分別求這11名學生中女生測試分數平均分的最小值．

附：，其中．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】垃圾分類是對垃圾進行有效處置的一種科學管理方法，為了了解居民對垃圾分類的知曉率和參與率，引導居民積極行動，科學地進行垃圾分類，某小區(qū)隨機抽取年齡在區(qū)間上的50人進行調研，統(tǒng)計出年齡頻數分布及了解垃圾分類的人數如下表：

年齡

頻數

5

10

10

15

5

5

了解

4

5

8

12

2

1

（1）填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為以65歲為分界點居民對了解垃圾分類的有關知識有差異；

年齡低于65歲的人數

年齡不低于65歲的人數

合計

了解

不了解

合計

（2）若對年齡在，的被調研人中各隨機選取2人進行深入調研，記選中的4人中不了解垃圾分類的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望

參考公式和數據

，其中.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為O，且平面．

（1）證明：；

（2）若，，，求到平面ABC的距離．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：當時，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）若函數有兩個零點，求的取值范圍；

（2）證明：當時，對任意滿足的正實數，，都有.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某工廠為了提高生產效率，對生產設備進行了技術改造，為了對比技術改造后的效果，采集了技術改造前后各20次連續(xù)正常運行的時間長度(單位：天)數據，整理如下：

改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21

改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36

（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99％的把握認為技術改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異?

超過30

不超過30

改造前

改造后

（2）工廠的生產設備的運行需要進行維護，工廠對生產設備的生產維護費用包括正常維護費，保障維護費兩種．對生產設備設定維護周期為T天(即從開工運行到第kT天，k∈N*)進行維護．生產設備在一個生產周期內設置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立．在一個維護周期內，若生產設備能連續(xù)運行，則只產生一次正常維護費，而不會產生保障維護費；若生產設備不能連續(xù)運行，則除產生一次正常維護費外，還產生保障維護費．經測算，正常維護費為0.5萬元／次；保障維護費第一次為0.2萬元／周期，此后每增加一次則保障維護費增加0.2萬元．現制定生產設備一個生產周期(以120天計)內的維護方案：T=30，k=1，2，3，4．以生產設備在技術改造后一個維護周期內能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產周期內生產維護費的分布列及均值．

附：

P(K2≥k)

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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