Question

已知函數(shù)數(shù)f（x）=x+

a

x

（x≠0），
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，用定義證明函數(shù)數(shù)f（x）在[

2

，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）可通過求導(dǎo)證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而寫出單調(diào)區(qū)間．
（2）設(shè)

2

＜x₁＜x₂＜+∞，則證明f（x₂）＞f（x₁）即可．

解答： 解：（1）解：函數(shù)f（x）在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
證明如下：
∵f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，
令f′（x）＞0，解得：x＞

a

，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

a

，
∴函數(shù)f（x）在（0，

a

）遞減，在（

a

，+∞）遞增．
（2）設(shè)

2

＜x₁＜x₂＜+∞，則有
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-x₂-

2

x2

=（x₁-x₂）（

x1x2-2

x1x2

）
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂-2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即有f（x₂）＞f（x₁）
由此可證函數(shù)數(shù)f（x）在[

2

，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性的證明問題，本題屬于基礎(chǔ)題．