Question

已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前6項(xiàng)和為33，且a₄為a₁和a₁₀的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

an•an+1

}的前n項(xiàng)的和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求出首項(xiàng)和公差，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{

1

an•an+1

}，然后由裂項(xiàng)相消法求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由已知得

S6=33 a 2 4 =a1•a10

，
∴

2a1+5d=11 3d2=3a1d

⇒

2a1+5d=11 d•(3d-a1)=0

．
∵數(shù)列{a_n}各項(xiàng)均不相等，
∴d≠0，于是a₁=3d，
解得

a1=3 d=1

．
∴a_n=n+2；
（Ⅱ）∵

1

an•an+1

=

1

(n+2)(n+3)

=

1

n+2

-

1

n+3

，
∴Sn=

1

a1•a2

+

1

a3•a4

+…+

1

an•an+1

=(

1

3

-

1

4

)+(

1

4

-

1

5

)+…+(

1

n+2

-

1

n+3

)
=

1

3

-

1

n+3

=

n

3(n+3)

．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬中檔題．