Question

【題目】關于函數，下列說法錯誤的是（ ）

A. 是的極小值點 B. 函數有且只有1個零點

C. 存在正實數，使得恒成立 D. 對任意兩個正實數，且，若，則

Answer 1

【答案】C

【解析】解：f′（x） ，∴（0，2）上，函數單調遞減，（2，+∞）上函數單調遞增，

∴x=2是f（x）的極小值點，即A正確；

y=f（x）﹣x= +lnx﹣x，∴y′ ＜0，

函數在（0，+∞）上單調遞減，x→0，y→+∞，

∴函數y=f（x）﹣x有且只有1個零點，即B正確；

f（x）＞kx，可得k＜ + ，

令g（x）= +

則g′（x）

令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）=﹣lnx，

∴（0，1）上，函數單調遞增，（1，+∞）上函數單調遞減，

∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）= +在（0，+∞）上函數單調遞減，函數無最小值，

∴不存在正實數k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；

對任意兩個正實數x1，x2，且x2＞x1，

（0，2）上，函數單調遞減，（2，+∞）上函數單調遞增，

若f（x1）=f（x2），則x1+x2＞4，正確．

故選：C．