分析 (1)由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得ω的值,可得函數(shù)的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過特殊點(diǎn),求得λ的值,從而得到函數(shù)的解析式.
(2)由條件利用同角三角的基本關(guān)系求得α、α+β的正弦和余弦,再利用兩角差的余弦公式求得cosβ的值,可得β的值.
解答 解:(1)由f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ得f(x)=2{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωxsinωx+λ
=1-cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx+λ=2sin(2ωx-\frac{π}{6})+λ+1,
可得 f(x)=2sin({2ωx-\frac{π}{6}})+λ+1.
由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=\frac{π}{3}對(duì)稱,∴sin({\frac{2π}{3}ω-\frac{π}{6}})=±1,
解得:ω=1+\frac{3}{2}k,k∈Z,∵ω∈(0,2),∴ω=1.
又因?yàn)閒(x)經(jīng)過點(diǎn)({\frac{π}{4},\sqrt{3}}),可得:λ=-1,因此f(x)=2sin({2x-\frac{π}{6}}).
(2)由f({\frac{α}{2}+\frac{π}{3}})=\frac{2}{7}⇒cosα=\frac{1}{7},f({\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}})=\frac{{5\sqrt{3}}}{7}⇒sin({α+β})=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}.
∵α為銳角且cosα=\frac{1}{7},∴sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{{4\sqrt{3}}}{7},
又α,β為銳角,∴α+β∈({\frac{π}{2},π}),
又sin({α+β})=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}<sinα,∴α+β∈({\frac{π}{2},π}),∴cos({α+β})=\sqrt{1-{{sin}^2}({α+β})}=-\frac{11}{14},
∴cosβ=cos[{({α+β})-α}]=cos({α+β})cosα+sin({α+β})sinα=\frac{1}{2},∴β=\frac{π}{3}.
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,同角三角的基本關(guān)系,兩角差的余弦公式,屬于中檔題.
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A. | EF與BC相交 | B. | EF∥BC | C. | EF與BC異面 | D. | 以上均有可能 |
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A. | (0,\frac{1}{2}) | B. | [\frac{1}{4},\frac{1}{2}) | C. | (\frac{1}{4},\frac{1}{2}) | D. | (0,\frac{1}{4}) |
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A. | -\frac{4}{5} | B. | \frac{4}{5} | C. | -\frac{3}{5} | D. | \frac{3}{5} |
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A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
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A. | [1-\sqrt{2},0] | B. | [0,\sqrt{2}+1] | C. | [\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1] | D. | [1,\sqrt{2}+1] |
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