Processing math: 0%
18.已知向量\overrightarrow a=({sinωx,cosωx}),\overrightarrow b=({2sinωx,2\sqrt{3}cosωx}),函數(shù)f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λ,({x∈R})的圖象關(guān)于直線x=\frac{π}{3}對(duì)稱,且經(jīng)過點(diǎn)({\frac{π}{4},\sqrt{3}}),其中ω,λ為實(shí)數(shù),ω∈(0,2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)若銳角α,β滿足f({\frac{α}{2}+\frac{π}{3}})=\frac{2}{7},f({\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}})=\frac{{5\sqrt{3}}}{7},求β的值.

分析 (1)由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得ω的值,可得函數(shù)的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過特殊點(diǎn),求得λ的值,從而得到函數(shù)的解析式.
(2)由條件利用同角三角的基本關(guān)系求得α、α+β的正弦和余弦,再利用兩角差的余弦公式求得cosβ的值,可得β的值.

解答 解:(1)由f(x)=\overrightarrow a•\overrightarrow b+λf(x)=2{sin^2}ωx+2\sqrt{3}cosωxsinωx+λ
=1-cos2ωx+\sqrt{3}sin2ωx+λ=2sin(2ωx-\frac{π}{6})+λ+1,
可得 f(x)=2sin({2ωx-\frac{π}{6}})+λ+1
由于函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=\frac{π}{3}對(duì)稱,∴sin({\frac{2π}{3}ω-\frac{π}{6}})=±1,
解得:ω=1+\frac{3}{2}k,k∈Z,∵ω∈(0,2),∴ω=1.
又因?yàn)閒(x)經(jīng)過點(diǎn)({\frac{π}{4},\sqrt{3}}),可得:λ=-1,因此f(x)=2sin({2x-\frac{π}{6}})
(2)由f({\frac{α}{2}+\frac{π}{3}})=\frac{2}{7}⇒cosα=\frac{1}{7},f({\frac{α+β}{2}+\frac{π}{12}})=\frac{{5\sqrt{3}}}{7}⇒sin({α+β})=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}
∵α為銳角且cosα=\frac{1}{7},∴sinα=\sqrt{1-{{cos}^2}α}=\frac{{4\sqrt{3}}}{7},
又α,β為銳角,∴α+β∈({\frac{π}{2},π})
sin({α+β})=\frac{{5\sqrt{3}}}{14}<sinα,∴α+β∈({\frac{π}{2},π}),∴cos({α+β})=\sqrt{1-{{sin}^2}({α+β})}=-\frac{11}{14},
cosβ=cos[{({α+β})-α}]=cos({α+β})cosα+sin({α+β})sinα=\frac{1}{2},∴β=\frac{π}{3}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式,正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,同角三角的基本關(guān)系,兩角差的余弦公式,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.如圖,已知長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,AD=1,M為DC的中點(diǎn).將△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM,E為BD的中點(diǎn).

(1)求證:BM⊥平面ADM;
(2)求直線AE與平面ADM所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.已知函數(shù)y=f(x),x∈R,給出下列結(jié)論:
①若對(duì)于任意x1,x2且x1≠x2都有\frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}<0,則f(x)為R上的減函數(shù);
②若f(x)為R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù),f(-2)=0則f(x)>0的解集為(-2,2);
③若f(x)為R上的奇函數(shù),則y=f(x)-f(|x|)也是R上的奇函數(shù);
④t為常數(shù),若對(duì)任意的x都有f(x-t)=f(x+t),則f(x)的圖象關(guān)于x=t對(duì)稱.
其中所有正確的結(jié)論序號(hào)為①.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.在三棱錐S-ABC中,E,F(xiàn)分別為SB,SC上的點(diǎn),且EF∥面ABC,則( �。�
A.EF與BC相交B.EF∥BCC.EF與BC異面D.以上均有可能

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是( �。�
A.10B.20C.30D.40

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.已知函數(shù)f(x)=\left\{{\begin{array}{l}{({2a-1})x+2a,x<1}\\{{{log}_a}x,x≥1}\end{array}}\right.是R上的減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.(0,\frac{1}{2})B.[\frac{1}{4},\frac{1}{2}C.\frac{1}{4},\frac{1}{2}D.0,\frac{1}{4}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.已知角α的終邊與圓心為原點(diǎn)的圓交于點(diǎn)P(1,2),那么sin2α的值是(  )
A.-\frac{4}{5}B.\frac{4}{5}C.-\frac{3}{5}D.\frac{3}{5}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

7.一個(gè)四棱錐的底面為正方形,其三視圖如圖所示,其中主視圖和左視圖均為等腰三角形,俯視圖是一個(gè)正方形,則這個(gè)四棱錐的體積是(  )
A.1B.2C.3D.4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中,E、F分別在線段AB,BC上運(yùn)動(dòng),若EF=1,則\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{FD}的取值范圍是(  )
A.[1-\sqrt{2},0]B.[0,\sqrt{2}+1]C.[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]D.[1,\sqrt{2}+1]

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案