Question

10．美國(guó)籃球職業(yè)聯(lián)賽（NBA）某賽季的總決賽在湖人隊(duì)與活塞隊(duì)之間進(jìn)行，比賽采取七局四勝制．即若有一隊(duì)勝四場(chǎng)，則此隊(duì)獲勝且比賽結(jié)束．因兩對(duì)實(shí)力非常接近，在每場(chǎng)比賽中每隊(duì)獲勝是等可能的，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽組織者可獲門(mén)票及廣告收入1000萬(wàn)美元．求在這次總決賽過(guò)程中．
（1）比賽5局湖人隊(duì)取勝的概率；
（2）比賽組織者獲得門(mén)票及廣告收入ξ（萬(wàn)美元）的概率分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 由題意可得：由題意，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$．
（1）比賽5局湖人隊(duì)取勝說(shuō)明前4場(chǎng)有3場(chǎng)獲勝，第5場(chǎng)必獲勝，所以比賽5局湖人隊(duì)取勝的概率${∁}_{4}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$．
（2）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為η，則η的可能值為4，5，6，7．比之對(duì)應(yīng)的ξ的值為400，500，600，700．可得P（ξ=400）=P（μ=4）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{8}$．P（ξ=500）=P（μ=5）=$2{∁}_{4}^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$．P（ξ=600）=P（μ=6）=2${∁}_{5}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$×$\frac{1}{2}$．P（ξ=700）=P（μ=7）=2${∁}_{6}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}$．即可得出互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：由題意可得：由題意，每場(chǎng)比賽兩隊(duì)獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$．．
（1）比賽5局湖人隊(duì)取勝說(shuō)明前4場(chǎng)有3場(chǎng)獲勝，第5場(chǎng)必獲勝，所以比賽5局湖人隊(duì)取勝的概率${∁}_{4}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$．
（2）設(shè)比賽場(chǎng)數(shù)為η，則η的可能值為4，5，6，7．比之對(duì)應(yīng)的ξ的值為400，500，600，700．
∴P（ξ=400）=P（μ=4）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{8}$．P（ξ=500）=P（μ=5）=$2{∁}_{4}^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$．
P（ξ=600）=P（μ=6）=2${∁}_{5}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}×（\frac{1}{2}）^{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$．
P（ξ=700）=P（μ=7）=2${∁}_{6}^{3}$$（\frac{1}{2}）^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{5}{16}$．
∴ξ的概率分布為

ξ	400	500	600	700
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

Eξ=581.25（萬(wàn)美元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了互相獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式及其隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．