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1.已知向量a=(-1,-1),向量與向量a的夾角為π4,且\overrightarrow{a}•\overrightarrow=1.
(1)求向量
(2)若向量n=(1,0)的夾角為π2,向量m=(cosC,2cos2A2),其中A,B,C是△ABC的內(nèi)角,且滿足2B=A+C,試求|+m|的取值范圍
(3)求在(2)條件下取得最小值時(shí)A,并求此時(shí)能使方程sin(2x+A)=m2在x∈[0,π2]上存在兩個(gè)相異實(shí)根的m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)數(shù)量積及夾角計(jì)算|\overrightarrow|,根據(jù)夾角確定的方向;
(2)使用二倍角公式化簡(jiǎn)+m,根據(jù)A的范圍計(jì)算(+m2的范圍得出|+m|的取值范圍;
(3)利用正弦函數(shù)圖象得出m2的范圍解出.

解答 解:(1)|a|=2,∵a=|a|||cosπ4=1,∴||=1.
\overrightarrow=(-1,0)或\overrightarrow=(0,-1).
(2)∵向量n=(1,0)的夾角為π2,∴\overrightarrow=(0,-1).
∵2B=A+C,A+B+C=π,∴B=π3,A+C=2π3.∴cosC=cos(2π3A)=32sinA-12cosA.
m=(cosC,2cos2A2)=(cosC,1+cosA)=(32sinA-12cosA,1+cosA).
+m=(32sinA-12cosA,cosA).
∴(+m2=(32sinA-12cosA)2+cos2A=14cos2A-34sin2A+1=12cos(2A+π3)+1.
∵0<A<2π3,∴π3<2A+π35π3
∴-1≤cos(2A+π312.∴12≤(+m254
22≤|+m|<52
(3)由(2)知當(dāng)2A+π3=π時(shí),|+m|取得最小值,此時(shí)A=π3
令f(x)=sin(2x+A)=sin(2x+π3).
∵x∈[0,π2],∴2x+π3∈[π3,4π3].
∵f(x)=m2在[0,π2]上有兩個(gè)相異實(shí)根,
32m21
3m2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,三角函數(shù)恒等變換,函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷,屬于中檔題.

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