Question

8．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1上，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足|$\overrightarrow{MF}$|=1且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，則|$\overrightarrow{PM}$|的最小值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 依題意知，該橢圓的焦點(diǎn)F（3，0），點(diǎn)M在以F（3，0）為圓心，1為半徑的圓上，當(dāng)PF最小時(shí)，切線長(zhǎng)PM最小，作出圖形，即可得到答案．

解答 解：依題意知，點(diǎn)M在以F（3，0）為圓心，1為半徑的圓上，PM為圓的切線，
且$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{MF}$=0，即PM⊥MF，
∴|PM|²=|PF|²-|MF|²，而|MF|=1，
∴當(dāng)PF最小時(shí)，切線長(zhǎng)PM最�。�

由圖知，當(dāng)點(diǎn)P為右頂點(diǎn)（5，0）時(shí)，|PF|最小，最小值為：5-3=2．
此時(shí)|PM|=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的方程，考查作圖與分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．