Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{2}{x}+alnx-2（a＞0）$，若對(duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{2}{e}$）．

Answer 1

分析 求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出f（x）在（0，+∞）上的最小值，讓最小值大于2（a-1），得到關(guān)于a的不等式，解該不等式，從而求出a的取值范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{ax-2}{{x}^{2}}$，a＞0；
∴x＞$\frac{2}{a}$時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜$\frac{2}{a}$時(shí)，f′（x）＜0；
所以x=$\frac{2}{a}$時(shí)，f（x）取最小值f（$\frac{2}{a}$）=a+aln$\frac{2}{a}$-2；
因?yàn)閷?duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立；
∴a+aln$\frac{2}{a}$-2＞2（a-1）；
∴aln$\frac{2}{a}$＞a；
∴l(xiāng)n$\frac{2}{a}$＞1，$\frac{2}{a}$＞e；
∴0＜a＜$\frac{2}{e}$；
∴a的取值范圍為（0，$\frac{2}{e}$），
故答案為：（0，$\frac{2}{e}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)的最小值的方法，注意正確求導(dǎo)．