Question

9．設(shè)${y_1}={a^{3x-1}}，{y_2}={a^{1-2x}}$，其中a＞0，a≠1，確定x為何值時(shí)，有
（1）y₁=y₂
（2）y₁＞y₂．

Answer 1

分析 先將兩個函數(shù)抽象為指數(shù)函數(shù)：y=a^x，則（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程：3x-1=1-2x求解；
（2）0＜a＜1，y=a^x是減函數(shù)，有3x-1＜1-2x求解，當(dāng)a＞1時(shí)，y=a^x是增函數(shù)，有3x-1＞1-2x求解，然后兩種情況取并集．

解答 解：（1）∵y₁=y₂ ，∴3x-1=1-2x，
解之得：x=$\frac{2}{5}$；
（2）若a＞1，則指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)．
又因?yàn)閥₁＞y₂，所以有3x-1＞1-2x，解得x＞$\frac{2}{5}$；
若0＜a＜1，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)．
因?yàn)閥₁＞y₂，所以有3x-1＜1-2x，解得x＜$\frac{2}{5}$；
綜上：當(dāng)a＞1時(shí)，x＞$\frac{2}{5}$；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＜$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評 本題主要考查指數(shù)不等式的解法，這類問題要轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來解．