Question

在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求PB與平面ABC所成角的大小；
（2）求點C到平面APB的距離．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用已知可得△ACP≌△BCP．由于∠ACB=90°，可得∠BCP=90°．利用小妮垂直的判定定理可得PC⊥平面ABC．因此∠PBC是PB與平面ABC所成角．再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出．
（2）設(shè)點C到平面APB的距離為h，利用V_C-PAB=V_P-ABC，即

1

3

h•S△PAB=

1

3

PC•S△ABC，解出即可．

解答： 解：（1）在△ACP與△BCP中，∵AC=BC，PA=PB，PC公用，∴△ACP≌△BCP．
∵∠ACB=90°，∴∠BCP=90°．
∴PC⊥BC，又PC⊥AC，AC∩BC=C．
∴PC⊥平面ABC．∴∠PBC是PB與平面ABC所成角．
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=2

2

．
∴cos∠PBC=

BC

BP

=

BC

AB

=

2

2 2

=

2

2

，
∴∠PBC=45°．
∴PB與平面ABC所成角的大小為45°．
（2）設(shè)點C到平面APB的距離為h，
則V_C-PAB=V_P-ABC，
∴

1

3

h•S△PAB=

1

3

PC•S△ABC，
∴h•

3

4

×(2

2

)2=2×

1

2

×2×2，
解得h=

2 3

3

．

點評：本題考查了線面角的求法、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐的體積計算公式、直角三角形的邊角關(guān)系、三角形全等的判定與性質(zhì)，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．