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17.在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,已知a=csinB+bcosC.
(1)求A+C的值;
(2)若b=2,求△ABC面積的最值.

分析 (1)由正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知可得cosBsinC=sinCsinB,由于sinC≠0,可求tanB=1,結(jié)合范圍B∈(0,π),即可得解A+C的值.
(2)由已知及余弦定理可求2=a2+c22ac,利用基本不等式可求ac222=2+2,利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值.

解答 解:(1)由正弦定理得到:sinA=sinCsinB+sinBcosC,
因為在三角形中,sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C),
所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC,
所以cosBsinC=sinCsinB,
因為C∈(0,π),sinC≠0,
所以cosB=sinB,即tanB=1,
因為B∈(0,π),
所以B=\frac{π}{4},即A+C=\frac{3π}{4}
(2)由余弦定理得到:b2=a2+c2-2accosB,
所以2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac
所以2+\sqrt{2}ac={a^2}+{c^2}≥2ac,即ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2},當(dāng)且僅當(dāng)a=c即a=c=\sqrt{2+\sqrt{2}}時“=”成立.
{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ac,
所以△ABC面積的最大值為\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}

點評 本題主要考查了正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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