Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）且對任意的正實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，f（4）=1
（1）求f（1）及f(

1

16

)；
（2）解不等式f（x）+f（x-3）≤1．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對任意的正實數(shù)x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），令x=4，y=1，即可求出f（1）的值；令x=4，y=4，代入求得，即可求得f(

1

16

)的值；
（2）根據(jù)當(dāng)x＞1時，f（x）＞0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，把f（x）+f（x-3）≤1化為f[x（x-3）]≤1=f（4），根據(jù)單調(diào)性，得到不等式解得即可．

解答： 解：（1）令x=4，y=1，
則f（4）=f（4×1）=f（4）+f（1）．
∴f（1）=0．
再令x=4，y=4得
f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
f（1）=f（16×

1

16

）=f（

1

16

）+f（16）=0，
故f（

1

16

）=-2．
（2）設(shè)x₁，x₂＞0且x₁＞x₂，于是f（

x1

x2

）＞0，
∴f（x₁）=f（

x1

x2

•x2）=f（

x1

x2

）+f（x₂）＞f（x₂）．
∴f（x）為x∈（0，+∞）上的增函數(shù)．
又∵f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]≤1=f（4），
∴

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

∴3＜x≤4．
∴原不等式的解集為{x|3＜x≤4}．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，在轉(zhuǎn)化過程中一定注意函數(shù)的定義域．解決抽象函數(shù)的問題一般應(yīng)用賦值法．