Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2acoskπ•lnx（k∈N^*，a∈R，且a＞0）．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若k=2014，關(guān)于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論k為奇數(shù)和偶數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)的定義域；
（2）若k=2014，則f（x）=x²-2alnx（k∈N*），記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，求出導(dǎo)數(shù)，單調(diào)區(qū)間和極小值和最小值，則方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．由g（x₂）=0且g′（x₂）=0，得到2lnx₂+x₂-1=0，設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，有h（1）=0，則方程（*）的解為x₂=1，進(jìn)而得到a的值．

解答： 解：（1）由已知得，x＞0，且f′（x）=2x-（-1）k•

2a

x

，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在x＞0時(shí)為增函數(shù)，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f′（x）=2x-

2a

x

=

2(x+ a )(x- a )

x

，
所以當(dāng)0＜x＜

a

，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞

a

時(shí)，f′（x）＞0，
故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，f（x）在（0，

a

）上為減函數(shù)，在（

a

，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若k=2014，則f（x）=x²-2alnx（k∈N*），
記g（x）=f（x）-2ax=x²-2alnx-2ax，
則g′（x）=2x-

2a

x

-2a=

2

x

（x²-ax-a），
則方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解．
令g′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，x＞0，∴x₁=

a- a2+4a

2

＜0（舍去）
x₂=

a+ a2+4a

2

．
當(dāng)0＜x＜x₂時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）遞減；
當(dāng)x＞x₂，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）遞增；
當(dāng)x=x₂時(shí)，取極小值，也為最小值，則g（x）_min=g（x₂）．
∵g（x）有唯一解，則g（x₂）=0，則g（x₂）=0且g′（x₂）=0，
即x₂²-2alnx₂-2ax₂=0且x₂²-ax₂-a=0，
兩式相減得，2alnx₂+ax₂-a=0，
∵a＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0，（*）
設(shè)函數(shù)h（x）=2lnx+x-1，h′（x）=

2

x

+1＞0，
∵x＞0，h（x）遞增，∴h（x）=0至多有一個(gè)解，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴方程（*）的解為x₂=1，
從而解得a=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求極值和最值，考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．