Question

已知函數(shù)f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，a∈R，若f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞增，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，構(gòu)建不等式，即可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=

3

x+1

+2ax-2，
∵函數(shù)f（x）=3ln（x+1）+ax²-2x，在（0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴f′（x）=

3

x+1

+2ax-2≥0，即a≥

2x-1

2x(x+1)

在（0，+∞）上恒成立，
∵

2x-1

2x(x+1)

=

x- 1 2

x2+x

=

x- 1 2

(x- 1 2 )2+2(x- 1 2 )+ 3 4

=

1

(x- 1 2 )+ 3 4 x- 1 2 +2

，
∴當(dāng)x∈（0，

1

2

）時，令g（x）=

2x-1

2x(x+1)

，g′（x）=

-x2+x+ 1 2

(x2+x)2

=

-(x- 1 2 )2+ 3 4

(x2+x)2

＞0，
∴g（x）在（0，

1

2

）上是增函數(shù)，∴g（x）＜g（

1

2

）=0，
∴a≥0
當(dāng)x∈（

1

2

，+∞）時，

1

(x- 1 2 )+ 3 4 x- 1 2 +2

≤

1

2 3 4 +2

=2-

3

，x=

1+ 3

2

時等號成立．
∴a≥2-

3

；
∴綜上所述a的范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．