Question

已知某地一天從4～16時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20，x∈[4，16]．
（Ⅰ）求該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；
（Ⅱ）若有一種細(xì)菌在15℃到25℃之間可以生存，那么在這段時(shí)間內(nèi)，該細(xì)菌最多能生存多長時(shí)間？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）依題意知，-

3π

4

≤

π

8

x-

5π

4

≤

3π

4

，當(dāng)

π

8

x-

5π

4

=-

π

2

，即x=6時(shí)得到最低溫度為10°C；同理可得x=14時(shí)最高溫度為30°C，從而可得該地區(qū)這一段時(shí)間內(nèi)溫度的最大溫差；
（Ⅱ）分別令10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20=15與10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20=25，x∈[4，16]，可分別求得對(duì)應(yīng)的x值，兩值之差（大減�。┘礊榇鸢福�

解答： 解：（Ⅰ）∵y=10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20，x∈[4，16]，
∴-

3π

4

≤

π

8

x-

5π

4

≤

3π

4

，
∴當(dāng)

π

8

x-

5π

4

=-

π

2

，即x=6時(shí)函數(shù)取最小值，此時(shí)最低溫度為10°C；
當(dāng)

π

8

x-

5π

4

=

π

2

，即x=14時(shí)函數(shù)取最大值，此時(shí)最高溫度為30°C；
∴最大溫差為30°C-10°C=20°C．
（Ⅱ）令10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20=15，得sin（

π

8

x-

5π

4

）=-

1

2

，而x∈[4，16]，-

3π

4

≤

π

8

x-

5π

4

≤

3π

4

，
∴

π

8

x-

5π

4

=-

π

6

，
解得：x=

26

3

．
令10sin（

π

8

x-

5π

4

）+20=25，得sin（

π

8

x-

5π

4

）=

1

2

，而x∈[4，16]，
同理可得x=

34

3

．
故該細(xì)菌能存活的最長時(shí)間為

34

3

-

26

3

=

8

3

（小時(shí)）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查方程思想與綜合運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．