已知△ABC的面積S=a2-（b-c）2且b+c=8，求△ABC面積的最大值．
考點：余弦定理
專題：解三角形
分析：由余弦定理得cosA=
b2+c2-a2
2bc
，化簡后結(jié)合三角形的面積公式，代入式子：S=a2-（b-c）2化簡，利用倍角公式求出tan
A
2
的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinA，代入三角形面積公式，利用基本不等式求出最大值．
解答： 解：由余弦定理得，cosA=
b2+c2-a2
2bc
，
則b2+c2-a2=2bc•cosA，
因為S=a2-（b-c）2=a2-（b2+c2-2bc）=2bc-2bc•cosA，
所以
1
2
bcsinA=2bc（1-cosA），即sinA=4（1-cosA）
則2sin
A
2
cos
A
2
=4×2sin2
A
2
，cos
A
2
=4sin
A
2
，
所以tan
A
2
=
1
4
，
則sinA=2sin
A
2
cos
A
2
=
2sin
A
2
cos
A
2
sin2
A
2
+cos2
A
2
=
2tan
A
2
tan2
A
2
+1
=
2×
1
4
1
16
+1
=
8
17
，
因為b+c=8，所以△ABC的面積S=
1
2
bcsinA=
4
17
bc≤
4
17
(
b+c
2
)2=
64
17
，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，此時△ABC面積的最大值是
64
17
．
點評：本題考查倍角公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式以及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

△ABC中，∠A=60°，a=
6
，b=4，那么滿足條件的△ABC（　　）
A、有 一個解
B、有兩個解
C、無解
D、不能確定

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于數(shù)集X={-1，x1，x2，…x}，其中0＜x1＜x2＜…＜xn，n≥2，定義向量集Y={
a
|
a
=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意
a1
∈Y，存在
a2
∈Y，使得
a1
•
a2
=0，則稱X具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）判斷{-1，1，2}是否具有性質(zhì)P；
（Ⅱ）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈，且當(dāng)xn＞1時，x1=1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若復(fù)數(shù)Z1=i，Z2=3-i，則
Z2
Z1
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

判斷下列各式的符號：
（1）sin4•cos4；
（2）sin8•cos8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在三角形ABC中，AB=2，AC=
7
，BC=
5
，點D、E分別在邊AC，BC上，且
|BE|
|EC|
=
|CD|
|DA|
，則
AE
•
BD
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C：x2+y2-2x-2y=0，且圓中過點（2，3）的最短弦為AB，則直線AB在x軸上的截距為（　　）
A、-6B、2C、4D、8

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線l：y=k（x-2）+2與圓C：x2+y2-2x-2y=0相切，則直線l的斜率為（　�。�
A、-1B、-2C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且滿足f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=2，則f（2017）=
 
．

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