Question

求所有實(shí)多項(xiàng)式f和g，使得對所有x∈R，有：（x²+x+1）f（x²-x+1）=（x²-x+1）g（x²+x+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：綜合法與分析法(選修）

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：可設(shè)：f（x）=x•a（x）；g（x）=x•b（x），因此原條件可化為：a（x²-x+1）=b（x²+x+1），令x=-y，得：a（y²+y+1）=b（y²-y+1），進(jìn)而證明a（x）-a（1）是零多項(xiàng)式，即a（x）為常數(shù)，從而可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)w是1的非實(shí)的立方根，滿足w²+w+1=0，則g（w²+w+1）g（0）=0，
設(shè)α為-1的非實(shí)的立方根，則f（α²-α+1）=f（0）=0，
故可設(shè)：f（x）=x•a（x）；g（x）=x•b（x）．
因此原條件可化為：a（x²-x+1）=b（x²+x+1）．
令x=-y，得：a（y²+y+1）=b（y²-y+1）．
下面證明無窮多個(gè)n使得：a（n²+3n+3）=a（1）．
由n=1可得：a（1）=a（7），
假設(shè)a[（n-1）²+3（n-1）+3]=a（1）（n≥2），
則a[（n+1）²+3（n+1）+3]=a[（n+2）²+（n+2）+1]=a[（n+1）²-（n+1）+1]
=a[（n-1）²+3（n-1）+3]=a（1）．
由于多項(xiàng)式a（x）-a（1）有無窮多個(gè)根，所以a（x）-a（1）是零多項(xiàng)式，
即a（x）為常數(shù)，因此f（x）=kx，類似可知：g（x）=kx．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．