Question

函數(shù)f（x）=|1+2x|+|2-x|．
（1）指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出函數(shù)最小值
（2）若a+f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分類討論，即可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求出函數(shù)最小值；
（2）若a+f（x）＞0恒成立，a＞-f（x）恒成立，利用（1）的結(jié)論求a的取值范圍．

解答： 解：（1）分類討論：
①當(dāng)1+2x＞0，x-2＞0，即x＞2時(shí)，f（x）=（1+2x）-（2-x）=3x-1單調(diào)遞增；
②當(dāng)1+2x＞0，x-2＜0，即-0.5≤x≤2時(shí)，f（x）=（1+2x）+（2-x）=x+3單調(diào)遞增；
③當(dāng)1+2x＜0，x-2＜0，即x＜-0.5時(shí)，f（x）=-（1+2x）+（2-x）=1-3x單調(diào)遞減；
綜上，單調(diào)遞增區(qū)間為[-0.5，+∞），單調(diào)減區(qū)間（-∞，-0.5），
x=-0.5時(shí)，函數(shù)最小值為-2.5；
（2）∵a+f（x）＞0恒成立，
∴a＞-f（x）恒成立，
∵函數(shù)最小值為-2.5，
∴a＞-2.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)最小值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．