Question

4．設a≥2，函數f（x）=x|x-a|-a，若對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，則a的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作出函數f（x）=x|x-a|-a的圖象，根據二次函數的對稱軸的位置分類討論，利用函數的單調性可分別求得對應區(qū)間上的最小值，綜合可得a的最小值．

解答 解：∵f（x）=x|x-a|-a=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax-a，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax-a，x＜a}\end{array}\right.$，其圖象如下：

∵a≥2，對任意的x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立?f（x）_min≥0，
∴①當$\frac{a}{2}$≥3，即a≥6時，f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞增，
∴f（x）_min=f（2）=2（a-2）-a=a-4≥0，解得：a≥4，
②當$\frac{5}{2}$＜$\frac{a}{2}$＜3時，即5＜a＜6時，f（x）_min=f（2）=2（a-2）-a=a-4≥0，解得：a≥4，
∴5＜a＜6；
③當2＜$\frac{a}{2}$≤$\frac{5}{2}$時，即4＜a≤5時，f（x）_min=f（3）=3（a-3）-a=2a-9≥0，解得：a≥$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{9}{2}$≤a≤5，
④當$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤2}\\{a≥3}\end{array}\right.$，即3≤a≤4時，f（x）在區(qū)間[2，3]上單調遞減，
∴f（x）_min=f（3）=3（a-3）-a=2a-9≥0，解得：a≥$\frac{9}{2}$，
∴a∈∅；
⑤當2≤a＜3時，f（x）_min=f（a）=-a≥0，解得a∈∅；
綜上所述，a≥$\frac{9}{2}$．
∴a的最小值為：$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查函數恒成立問題，去掉絕對值符號是關鍵，考查分類討論思想、數形結合思想、等價轉化思想、函數與方程思想的綜合運用，屬于難題．