Question

射擊測試有兩種方案，方案1：先在甲靶射擊一次，以后都在乙靶射擊；方案2：始終在乙靶射擊，某射手命中甲靶的概率為

2

3

，命中一次得3分；命中乙靶的概率為

3

4

，命中一次得2分，若沒有命中則得0分，用隨機變量ξ表示該射手一次測試累計得分，如果ξ的值不低于3分就認為通過測試，立即停止射擊；否則繼續(xù)射擊，但一次測試最多打靶3次，每次射擊的結果相互獨立．
（1）如果該射手選擇方案1，求其測試結束后所得部分ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ；
（2）該射手選擇哪種方案通過測試的可能性大？請說明理由．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）在甲靶射擊命中記作A，不中記作

.

A

，在乙靶射擊命中記作B，不中記作

.

B

，P（A）=

2

3

，P（

.

A

）=1-

2

3

=

1

3

，P（B）=

3

4

，P（

.

B

）=1-

3

4

=

1

4

，ξ的所有可能取值為0，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．
（2）分別求出射手選擇方案1通過測試的概率和選擇方案2通過測試的概率，由此得到應選擇方案2通過測試的概率更大．

解答： 解：（1）在甲靶射擊命中記作A，不中記作

.

A

，
在乙靶射擊命中記作B，不中記作

.

B

，
其中P（A）=

2

3

，P（

.

A

）=1-

2

3

=

1

3

，
P（B）=

3

4

，P（

.

B

）=1-

3

4

=

1

4

，…（2分）
ξ的所有可能取值為0，2，3，4，
則P（ξ=0）=P（

.

A

.

B

.

B

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

B

）
=

1

3

×

1

4

×

1

4

=

1

48

，
P（ξ=2）=P（

.

A

B

.

B

）+P（

.

A

.

B

B）=P(

.

A

)P(B)P(

.

B

)+P(

.

A

)P(

.

B

)P(B)
=

1

3

×

3

4

×

1

4

+

1

3

×

1

4

×

3

4

=

6

48

，
P（ξ=3）=P（A）=

2

3

，
P（ξ=4）=P（

.

A

BB）=P（

.

A

）P（B）P（B）=

1

3

×

3

4

×

3

4

=

9

48

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	2	3	4
P	1 48	6 48	2 3	9 48

Eξ=0×

1

48

+2×

6

48

+3×

2

3

+4×

9

48

=3．…（7分）
（2）射手選擇方案1通過測試的概率為P₁，選擇方案2通過測試的概率為P₂，P1=P(ξ≥3)=

2

3

+

9

48

=

31

48

；P2=P(ξ≥3)=P(

.

B

BB)+P(B

.

B

B)+P(BB)=

1

4

×

3

4

×

3

4

+

3

4

×

1

4

×

3

4

+

3

4

×

3

4

=

27

32

，…（9分）
因為P₂＞P₁，所以應選擇方案2通過測試的概率更大．  …（10分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．