Question

【題目】已知定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）用定義法證明函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵定義域為R的函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．

∴f（0）= =0，解得b=1

（2）解：由（1）可得：f（x）= = ．

x1＜x2，則 ＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）= = ＞0，

∴f（x1）＞f（x2）．

∴函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)

（3）解：∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，對任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，

∴f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

∵函數(shù)f（x）在R上是減函數(shù)，

∴t2﹣2t＞k﹣2t2，

∴k＜3t2﹣2t= ，任意的t∈R恒成立．

∴k ．

因此k的取值范圍是

【解析】（1）利用f（0）=0即可解出；（2）利用減函數(shù)的定義即可證明；（3）利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性即可解出．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．