Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n為該數(shù)列的前n項(xiàng)和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若不等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論．

Answer 1

解：（1）依題意作圖如下：

∵圖中x軸下方的等腰直角三角形與x軸上方、直線x=4及直線y=x-2組成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=dx=×|=，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴-=1，又a₁=，故=2，
，∴{}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴=2+（n-1）×1=n+1，
．∴．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，++＞，即＞，
所以a＜26，而a是正整數(shù)，
所以取a=25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：++…+＞．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，已證；
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即++…+＞．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
有++…+
=++…++++-
＞+[+-]．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33329.png' />+=＞，
所以+-＞0．
所以當(dāng)n=k+1時(shí)不等式也成立．
由（1）（2）知，對(duì)一切正整數(shù)n，都有：++…+＞．
所以a的最大值等于25．
分析：（1）利用定積分可求得a₁=，再利用遞推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，++=＞，于是a＜26，據(jù)題意取a=25，用數(shù)學(xué)歸納法證明：++…+＞即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學(xué)歸納法，利用定積分求得a₁=是應(yīng)用遞推關(guān)系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的關(guān)鍵，通過數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查推理證明的能力，屬于難題．