Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n為該數(shù)列的前n項和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結論．

Answer 1

解：（1）依題意作圖如下：

∵圖中x軸下方的等腰直角三角形與x軸上方、直線x=4及直線y=x-2組成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=dx=×|=，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴-=1，又a₁=，故=2，
，∴{}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
∴=2+（n-1）×1=n+1，
．∴．
（2）當n=1時，++＞，即＞，
所以a＜26，而a是正整數(shù)，
所以取a=25，下面用數(shù)學歸納法證明：++…+＞．
（1）當n=1時，已證；
（2）假設當n=k時，不等式成立，即++…+＞．
則當n=k+1時，
有++…+
=++…++++-
＞+[+-]．
因為+=＞，
所以+-＞0．
所以當n=k+1時不等式也成立．
由（1）（2）知，對一切正整數(shù)n，都有：++…+＞．
所以a的最大值等于25．
分析：（1）利用定積分可求得a₁=，再利用遞推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當n=1時，++=＞，于是a＜26，據(jù)題意取a=25，用數(shù)學歸納法證明：++…+＞即可．
點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)學歸納法，利用定積分求得a₁=是應用遞推關系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的關鍵，通過數(shù)學歸納法的應用，考查推理證明的能力，屬于難題．