Question

已知函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

（1）若f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性并利用單調(diào)性定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，且為奇函數(shù)，則f（-x）+f（x）=0，計(jì)算即可得到a；
（2）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可判斷，注意作差、變形、判斷符號(hào)等步驟．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=a-

2

2x+1

，且為奇函數(shù)，
則f（-x）+f（x）=0，
即有a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即2a=

2(1+2x)

1+2x

=2，則a=1；
（2）f（x）在定義域R上遞增．
理由如下：設(shè)m＜n，則f（m）-f（n）=1-

2

2m+1

-（1-

2

2n+1

）
=2•

2m-2n

(1+2m)(1+2n)

，由于m＜n，則0＜2^m＜2ⁿ，則有2^m-2ⁿ＜0，
故f（m）-f（n）＜0，
即有f（x）在定義域R上遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷，注意定義的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．