Question

若函數(shù)f（x）=（x+a）（bx+2a）（常數(shù)a，b∈R）是偶函數(shù)，且它的值域?yàn)椋?∞，4]，則該函數(shù)的解析式為（　�。�

• A、f（x）=4x²
• B、f（x）=-4x²+2
• C、f（x）=-2x²+4
• D、f（x）=4x²或f（x）=-2x²+4

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義式得到一個(gè)a，b的方程，再結(jié)合值域其最大值為4列出另一個(gè)方程，解之即可．

解答： 解：由已知f（x）=bx²+a（b+2）x+2a²．因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以對(duì)稱軸x=-

a(b+2)

2b

=0，所以b=-2或a=0．
若b=-2，則f（x）=-2x²+2a²，結(jié)合值域得2a²=4，所以a=±

2

．此時(shí)f（x）=-2x²+4．
若a=0，則f（x）=bx²．此時(shí)函數(shù)的值域：當(dāng)b＞0時(shí)為（0，+∞）；當(dāng)b＜0時(shí)，值域?yàn)椋?∞，0）；當(dāng)b=0時(shí)，值域?yàn)閧0}．
顯然不會(huì)滿足值域?yàn)椋?∞，4]．
故f（x）=-2x²+4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，要注意函數(shù)二次函數(shù)本身特殊性質(zhì)的應(yīng)用．