Question

已知y=a^x （a＞0且a≠1）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，記a的所有可能取值構(gòu)成集合A；P（x，y）是橢圓

x2

16

+

y2

9

=1上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P₁（x₁，y₁）與點(diǎn)P關(guān)于直線y=x+1對(duì)稱，記

y1-1

4

的所有可能取值構(gòu)成集合B．若隨機(jī)地從集合A，B中分別抽出一個(gè)元素λ₁，λ₂，則λ₁＞λ₂的概率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求出集合A，B，然后根據(jù)幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵y=a^x （a＞0且a≠1）是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，∴0＜a＜1，
∴A={a|0＜a＜1}．
P₁（x₁，y₁）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)為P（y₁-1，x₁+1），
P是橢圓

x2

16

+

y2

9

=l上一動(dòng)點(diǎn)，
∴-4≤y₁-1≤4，
即-1≤

y1-1

4

≤1，
設(shè)b=

y1-1

4

，則-1≤b≤1，
∴B={b|-1≤b≤1}．
∴隨機(jī)的從集合A，B中分別抽取一個(gè)元素λ₁，λ₂，則λ₁＞λ₂等價(jià)為

0＜λ1＜1 -1≤λ2≤1 λ1＞λ2

，
則對(duì)應(yīng)的圖象如圖：
則λ₁＞λ₂的概率是

3

4

，
故答案為：

3

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系求出集合A，B是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度非常大．