Question

【題目】已知直線與直線互相垂直，且交點為Q，點，線段QF的垂直平分線與直線交于點P．

（I）若動點P的軌跡為曲線E，求曲線E的方程；

（Ⅱ）已知點，經過點M的兩條直線分別與曲線E交于A，B和C，D，且，設直線AC，BD的斜率分別為，是否存在常數，使得當變動時，？說明理由．

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）存在，

【解析】

（I）結合題意可知,根據拋物線定義,可知點P軌跡是以為準線,F為焦點的拋物線,由焦點坐標即可得出結果.

（Ⅱ）設直線AB的方程為,由可知A，N，C共線,設直線AC的方程為,設點,,由直線AB和曲線E聯(lián)立,借助韋達定理可得,,代入計算求得的關系式,,,即可得出結論

（Ⅰ）由題意，，結合拋物線定義，

可知點P軌跡是以為準線，F為焦點的拋物線，

故曲線E的方程為．

（Ⅱ）設直線AB的方程為，

由，得．

設點，則．

同理，設點．則．

由可知A，N，C共線，

設直線AC的方程為，

由，得，．

又，

，

故，所以存在常數，使．