Question

【題目】若函數(shù)在處取得極大值或極小值，則稱(chēng)為函數(shù)的極值點(diǎn)．

設(shè)函數(shù)，．

（1）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的值及的取值范圍；

（2）若在處的切線(xiàn)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的值；

（3）若，且對(duì)滿(mǎn)足“函數(shù)與的圖象總有三個(gè)交點(diǎn)”的任意實(shí)數(shù)，都有成立，求滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

【答案】（1），的取值范圍為或；（2）；（3）應(yīng)滿(mǎn)足條件且.

【解析】

（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，由f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，可得f′（x）＝0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2．則△＞0，x1x2＝1＝，即可得出的值及的取值范圍．（2）由k＝f′（1）＝3+2a+b，得切線(xiàn)方程為，即x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b＝（3+2a+b）（x﹣1），整理可得：（x﹣1）2（x+a+2）＝0，解出進(jìn)而得出答案．（3）聯(lián)立方程組，由（2）可得：（x﹣1）[x2+（a+1）x+a+b+1﹣k]＝0，方程必有一根x＝1，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）與f（x）的圖象總有三個(gè)交點(diǎn)．可得x2+（a+1）x+a+b+1﹣k＝0，有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2．因?yàn)?/span>g（x）與f（x）的圖象總有三個(gè)交點(diǎn)P，Q，R，且滿(mǎn)足PQ＝QR成立，可得三個(gè)根x1，x2，1滿(mǎn)足2x1＝x2+1，2x2＝x1+1，x1+x2＝2．由k為滿(mǎn)足g（x）與f（x）有三個(gè)交點(diǎn)的任意實(shí)數(shù)．令k＝a+b+1，則x2+（a+1）x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣a﹣1．分類(lèi)討論即可得出．

（1）由，因函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，

∴=，即，又，∴，或.

此時(shí)

	+	0		0	+
	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴是極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)，滿(mǎn)足題意.

（2）∵，∴在處的切線(xiàn)方程為，

聯(lián)立方程組，

即，

∴，

整理得，解得或，

∵切線(xiàn)與的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴，解得.

（3）聯(lián)立方程組，

化簡(jiǎn)得，

∴方程必有一根，

∵函數(shù)與的圖象總有三個(gè)交點(diǎn)，

∴有兩個(gè)不等實(shí)根，

且三個(gè)交點(diǎn)滿(mǎn)足，

∴實(shí)數(shù)根滿(mǎn)足，或，或，

∵為滿(mǎn)足與有三個(gè)交點(diǎn)的任意實(shí)數(shù)，

令，則，解得，

①當(dāng)時(shí)，得，即有，

此時(shí)，

再令，則，解得，

不滿(mǎn)足與，故不符題意；

②同理也不符題意；

③當(dāng)時(shí)，由，得，

此時(shí)總滿(mǎn)足，

為此只需有兩個(gè)不等的實(shí)根即可，

∴，化簡(jiǎn)得，

綜上所述，應(yīng)滿(mǎn)足條件且.