Question

（本小題滿(mǎn)分14分）已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上,線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)滿(mǎn)足；⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，一直線(xiàn)l：與⊙O相切，并與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B.

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)且滿(mǎn)足時(shí)，求△AOB面積S的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】第一問(wèn)中利用,以及⊙O是以F₁F₂為直徑的圓，可知,得到a,bc的值，得到橢圓的方程

第二問(wèn)中，利用，直線(xiàn)與圓相切，則可知圓心到直線(xiàn)的距離為1，然后得到

，直線(xiàn)方程與橢圓聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積公式得到結(jié)論。

解：（Ⅰ）  點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)  OM是的中位線(xiàn)

又        解得

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為                    ………………………6分

（Ⅱ）圓O與直線(xiàn)l相切      即：，由 

消去y：   設(shè)

，

，……………10分

 

 設(shè)，   則關(guān)于在上單調(diào)

遞增，且

故△AOB面積S的取值范圍是 …………………………………………14分