Question

已知在長方體中，點為棱上任意一點，，.

（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若點為棱的中點，點為棱的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為．

試題分析：（Ⅰ）求證：平面平面，證明兩個平面垂直，只需證明一個平面過另一個平面的垂線即可，由長方體的性質(zhì)，易證平面，從而可證平面平面；（Ⅱ）若點為棱的中點，點為棱的中點，求二面角的余弦值，求二面角問題，可用傳統(tǒng)方法，找二面角的平面角，但本題不易找，另一種方法，用向量法，本題因為是長方體，容易建立空間坐標系，以為軸，以為軸，以為軸建立空間直角坐標系，分別設出兩個平面的法向量，利用向量的運算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）為正方形                      2分
平面                         4分
又，平面  平面平面      6分
（Ⅱ）建立以為軸，以為軸，以為軸的空間直角坐標系     7分
設平面的法向量為，
                    9分
設平面的法向量為，
                      11分
                             13分
二面角的余弦值為                     14分