Question

)設(shè)為奇函數(shù)，為常數(shù)．
(1)求的值；
(2)判斷在區(qū)間（1，＋∞）內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的判斷正確；
(3)若對于區(qū)間 [3,4]上的每一個的值，不等式>恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）在（1，+∞）上是增函數(shù)（3）

試題分析：解：（1）∵為奇函數(shù)，
∴對于定義域中任意實數(shù)恒成立，
即    2分
∴ ∴ ∴
∴對于定義域中任意實數(shù)恒成立
∵不恒為0，∴ ∴   4分
當時不符題意
∴   5分
（2）由（1）得
設(shè)1＜x₁＜x₂，則
f（x₁）－f（x₂）＝log－log＝log
＝log  7分
∵  1＜x₁＜x₂，∴  x₂－x₁＞0，
∴ （x₁x₂－1）＋（x₂－x₁）＞（x₁x₂－1）－（x₂－x₁）>0
即>1．   9分
∴ f（x₁）－f（x₂）<0即f（x₁）＜f（x₂），在（1，+∞）上是增函數(shù)  10分
（3）由(1),不等式>可化為，即
由題意得對于區(qū)間[3,4]上的每一個的值，恒成立  2分
令，則區(qū)間[3,4]上為增函數(shù)
∵   ∴  15分
點評：解決的關(guān)鍵是對于函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的靈活運用，以及利用分離參數(shù)的思想求解函數(shù)的最值得到范圍。屬于中檔題。