Question

【題目】已知函數(shù)， R.

（1）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)；

（2）根據(jù)的不同取值，討論函數(shù)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)，且時(shí)，證明：對(duì)任意，存在唯一的R，使得，且.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：

（1）任取，設(shè)，計(jì)算可得，據(jù)此可得，函數(shù)是減函數(shù).

(2)分類討論可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

(3)由（1）知，當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別證明的存在性(利用函數(shù)的值域)和唯一性(利用反證法)即可證得題中的結(jié)論.

試題解析：

（1）任取，設(shè)，則，

∵，所以，又，∴，即，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù).

(2)當(dāng)時(shí)， ，所以，所以函數(shù)是偶函數(shù)，

當(dāng)時(shí)， ， ，

所以函數(shù)是奇函數(shù)，

當(dāng)且時(shí)， ， ，

因?yàn)?/span>且，

所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

(3)由（1）知，當(dāng)時(shí)函數(shù)是減函數(shù)，

所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以存在，使得.

假設(shè)存在使得，

若，則，若，則，

與矛盾，故是唯一的，

假設(shè)，即或，則或，

所以，與矛盾，故.