Question

已知函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）對(duì)任何實(shí)數(shù)x，y都成立．
（1）求證：f（2x）=2f（x）；
（2）求f（0）的值；
（3）求證f（x）為奇函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）依題意，令y=x，即可證得f（2x）=2f（x）；
（2）令y=x=0，即可求得f（0）=0；
（3）令y=-x，可證得f（-x）=-f（x），從而可證f（x）為奇函數(shù)．

解答： 證明：（1）∵（x+y）=f（x）+f（y），
令y=x，得f（x+x）=f（x）+f（x），即f（2x）=2f（x）；
（2）令y=x=0，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
（3）證明：由已知得定義域?yàn)镽．滿足若x∈R，則-x∈R．
令y=-x，
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0）=f（x）+f（-x）．
∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性的判定，屬于中檔題．